教学设计

二次函数性质的再研究

来源:    时间:2009-02-19    已阅读4326次
高新一中     邵小快
一、教学目标
1.知识目标:
(1)理解在二次函数的图像中abchk的作用,领会研究二次函数图像上下、左右平移的方法,并能迁移到其他函数,能通过平移得到其他函数图像,提高识图和用图能力,培养数形结合的思想意识。
(2)能够熟练地对一般二次函数解析式配方、确定其位置,并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质及其图像开口方向和顶点坐标,培养学生分类讨论的思想。
(3)初步学会应用平移变换规律研究较复杂的函数的具体性质(如值域、单调性等)。
2、能力目标:
⑴在数学实验平台上,能自主探究,改变相应参数和函数解析式,观
察相应图象变化,经历命题探索发现的过程,提高观察、归纳、概括能力。
⑵、结合学习中发现的问题,学会借助于数学软件等工具研究、探索
和解决问题,学会数学地解决问题。
⑶、渗透数学思想与方法(如化归、映射的思想,换元的方法)的学
习,发展学生的非逻辑思维能力(合情推理、直觉等)。
3、情感目标:
培养学生积极参与、合作交流的主体意识,在知识的探索和发现的过
程中,使学生感受数学学习的意义,改善学生的数学学习信念(态度、兴
趣等)。
二、教材分析:
教材以‘二次函数’做为全面介绍函数的一个例子出现.内容分为两节:4.1二次函数图像的形状和位置; 4.2二次函数的性质.图像显然起了重要作用,但是又不忽视解析式的作用.借此,我们想突出数与形的有机结合.4.1从三个递进的问题开始:1.解决二次函数的形状问题;2.解决其移动问题;3.解决配方问题.全节在教师引导和学生动手的基础上,围绕三个问题,每走一步都‘抽象概括’、明晰一次.因为,二次函数初中已有一定基础,所以到4.2难度有所加大.先给出了抽象的字母形式的配方结果,进而从字母出发对a>0时函数的单调性进行了证明,例题也比较综合、有相当难度.
为了让学生理解平移变换规律,教学中采取了以下策略:
从学生已有知识出发,精心设计一些适合学生学力的数学实验平台,分层次逐步引导学生观察图象的平移方向与函数解析式中、 符号的关系,抽象、归纳出平移变换规律。
值得注意的是:课上注意组织学生动手、活动、实践,教材中安排了学生的“动手实践”和“时间交流”,教师要创造性地用好它们。这部分内容,信息技术大有用武之地,二次函数解析式中参数对图像有什么影响,可以充分利用信息技术的动态特点,画出各种曲线族,把图像变化形象的表现出来。
三、重点难点:
1、重点:
(1)二次函数图象的平移变换规律及应用。
(2)二次函数解析式的配方以及二次函数在给定区间上的值域问题。
(3)含参数的二次函数在给定区间上的值域问题。
2、难点:
(1)探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律求函数解析式,并把平移变换规律能迁移到其他函数。
(2)含参数的二次函数在给定区间上的值域问题。
教材在这段内容的处理上,注重直观性背景,注重学生丰富感性知识的获得,实际教学中,我们发现如果学生不经受足够的亲身体验而简单的记住结论的话,往往很难在形式化的解析式与具体的图象平移之间建立联系,说明这段内容不能采取简单的“告诉”方式,须让学生自主发现命题、发现规律,让他们“知其然,更要知其所以然。”
四、课时建议:3课时
第一课时:二次函数的图象
第二课时:二次函数的性质
第三课时:二次函数在给定区间上的值域
五、学法指导:
教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更主要的是要让学生“会学知识”。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所指出,“数学知识既不是教出来的,也不是学出来的,而是研究出来的。”教学可以创设利于学生发现数学的实验情境,让学生自主地“做数学”,将传统意义下的“学习”数学改变为“研究”数学。从而,使传授知识与培养能力融为一体,在转变学习方式的同时学会数学地思考。
教学中注意要求学生掌握待定系数法(求二次函数的解析式)、配方法(求抛物线顶点坐标)、数形结合法(研究二次函数图象及性质、分类讨论思想(研究二次函数图象、性质)、由特殊到一般的思想(先研究y=ax2的图象与性质,再研究y=ax2+c及y=a(x-h)2+k,最后研究y=ax2+bx+c的图象及性质)等方法;
六、教学建议:
1.过程常与思想和方法相连,往往比结论更重要,所以,教学中应该注意强调对知识发生发展过程的认识.“问题提出”的三个问题,意即让学生体会知识由简单到复杂的发展过程和把复杂化简单的化归方法.从4.1到4.2也在从具体到抽象的逐步深化.希望教师能体会并把握这一点.
2.数形结合.本节课中涉及图像的移动,形十分突出.教师一定要注意用好形,但是,又不能仅仅满足于对形的认识,教材还设置了“抽象概括”,意在从形出发,然后升华为一般的数的认识.
3.课上注意组织学生动手,活动,实践.教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”.教师,要创造性地用好它们.可以采取小组合作研究共同完成的形式,通过学生的自主探究、合作交流,从而实现对平移变换规律知识的建构。
4.引导学生体会研究解剖式的方法,体会线由点定.如,y=ax2(a≠0)的图像可由yx2(a≠0) 的图像各点的纵坐标扩大(或缩小)为原来的a 倍得到的。
5.可以而且应该适度综合、适度抽象.高中学生,已经处于思维接近成熟的阶段,有些情况下,不能就事论事,而应该适度思考一些带有综合性的问题,但不可过分.对一般学生来说,分寸掌握到例习题的水平为宜.程度好一些的学生,当然,也可以自选一些题目来做.对于抽象的一般二次函数单调性证明,用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等,教师应该带领学生尝试.
6.解决实际问题,是数学学习的重要目的,也是引起学生思考的重要方法.有些例题,如例3,意在联系实际.但是,编者眼界有限.教师,可以而且应该具有这种意识,自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题.
7.这部分教材,信息技术大有用武之地.二次函数中各参数的变化对图像有什么影响?可以充分利用信息技术的动态特点,画出各种曲线族,把变化及其形象地表现出来.创设情境,引发学生认知冲突,激发学生求知欲,能借助于数学软件多角度积极探求平移变换规律,从而使学生真正理解掌握平移变换规律。
第一课时:二次函数的图象
教学过程
导入新课
在初中,我们已经学习了二次函数,知道其图像为抛物线,并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征,本节课进一步研究一般的二次函数的性质。
提出问题
(1)回顾二次函数的定义?
(2)二次函数解析式有几种形式?
(3)二次函数的图像是什么形状?如何快速画出其草图?
讨论结果
(1)一般地,函数 叫做二次函数。
(2)有三种形式:
   一般式: ;
顶点式: ;
交点式: 。
任意二次函数的解析式都有一般式和顶点式,但不一定有交点式。
(3)二次函数的图像是抛物线,画其草图时一般根据其图像的开口方向、对称轴、顶点、与两坐标轴的交点等特征快速画出其草图。
提出问题
(1)画出 的图像,并填写表1。
                        表1
0
1
2
3
 
 
 
 
 
 
 
2
 
 
 
 
 
 
 
(2)如何由 的图像得到 的图像?
(3)如何由 的图像得到 的图像?
讨论结果
(1)如图1为 的图像,
                     
                               
 
 
图1
 
如表2为所填表格
表2
 
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
2
18
8
2
0
2
8
18
 
 
 
 
(2)将 的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的2倍得到 的图像.
 
 
 
 
(3)将 的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标都扩大为原来的A倍得到 的图像.
提出问题
(1)在同一坐标系下画出 , , 的图像,观察如何由 得到 的图像.
(2) 如何由 得到 的图像.
   (3) 如何由 得到 的图像.
 (4) 如何由 得到 的图像.
讨论结果
(1) 先把 图像左移一个单位,得到 图像,再把 图像上移三个单位, 得到 图像.
 
 
 
 
 
(2) 把 图像左( )或右( )移 个单位, 再上( )或下( )移 个单位,得到 的图像.
(3) 把 图像左( )或右( )移 个单位, 再上( )或下( )移 个单位,得到 的图像.
  (4) 由 得到 的图像,可先配方成 ,然后再平移.
提出问题
  中的 对图像有何影响?
讨论结果
解析式中的 影响开口方向和开口大小, 和 影响图像的顶点位置,不影响图像形状.
例1 二次函数 与 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数 的解析式和 图像的顶点,写出函数 的解析式;
(1) 函数 图像的顶点是
(2) 函数 图像的顶点是
活动:学生思考确定确定二次函数的图像开口大小和方向的参数,以及二次函数的解析式和顶点。
解:如果二次函数的图像与 开口大小相同,开口方向也相同,顶点是 则函数的解析式应为 ,
(1)因为二次函数 与 的图像开口大小相同,开口方向也相同,函数 图像的顶点是 所以
(2)因为二次函数 与 的图像开口大小相同,开口方向也相同,函数 图像的顶点是 所以
点评:本题主要考查二次函数的解析式、图象和性质,以及数形结合的能力。已知二次函数的顶点求解析式时,一般设二次函数的顶点式。
例2  已知二次函数 的图像与 轴有两个不同的交点 ,且            试问该函数图像由 的图像向上平移几个单位得到?
分析:利用题设条件,再根据跟与系数的关系列出方程并解出的系数,再利用平移规律得出答案。
解:设二次函数解析式为 ,即 由题设条件,
 
 
 
所以该函数图像是由 的图像向上平移 个单位得到的,该解析式为 ,即
点评:本题考查利用二次函数的知识解决问题。函数图像的平移会对解析式产生影响,但函数图像中的某些特征不会产生变化,我们要抓住变化的关键,对函数解析式中变化的系数进行讨论。
课堂小结
本节学习了:
(1)二次函数解析式及其求法;
(2)变化法画二次函数的图像。
作业
习题2—4A组2、3、4。
设计感想
本节课的教学设计中,主要涉及图像的移动,“形”十分突出,因此教师一定要注意用好形,但是,又不能仅仅满足于对“形”的认识,教材还设置了抽象概括,意在从“形”出发,然后升华为对一般的数的认识。
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